‘Отечественныя Записки’, No 12, 1848
Новый способ исчисления площадей планов…, Цейдлер Петр Михайлович, Год: 1848
Время на прочтение: 3 минут(ы)
Новый способъ изчисленія площадей плановъ и построенія фигуръ нарзокъ посредствомъ Ручнаго Планиметра, инструмента, изобртеннаго Ермаковымъ Москва. 1848. Въ тип. В. Готье. Въ 8-ю д. л. 16 стр. съ чертежами.
Для исчисленія площадей на планахъ обыкновенно употребляютъ: роговую паллетку, агрометръ Бибикова, аритмопланиметръ Лаланда, или наконецъ, просто разбиваютъ исчисляемую площадь на треугольники, измряютъ основанія и высоты ихъ, и черезъ перемноженіе этихъ величинъ получаютъ площади этихъ треугольниковъ, сумма которыхъ даетъ величину искомой площади. Этотъ послдній способъ, почитаемый точнйшимъ, иметъ важныя неудобства: во-первыхъ, онъ требуетъ много времени, во-вторыхъ, по сложности своей, вовлекаетъ въ частыя ошибки. Роговая палетка, употребляемая для исчисленія мелкихъ контуръ внутренней ситуаціи, неудобна по сбивчивости счета мелкихъ дленій. Агрометръ, испещряя (планъ параллельными линіями, которыя смшиваются съ линіями исчи(сляемыхъ треугольниковъ, часто совершенно запутываетъ работу. Что касается до аритмопланиметра, то хотя помощію его исчисленіе скоро и врно, какъ только можно желать, но приборъ этотъ не можетъ сдлаться общеупотребительнымъ по своей сложности, неудобству перевозки и дороговизн. Притомъ, этого прибора нельзя примнить къ построенію нарзокъ.
Вс исчисленныя неудобства, или по-крайней мр большая часть изъ нихъ, устраняются изобртеніемъ г-на Ермакова. Изобртеніе, его чрезвычайно-остроумно, при удивительной простот устройства: его ручной планиметръ доставляетъ средство производить исчисленіе плановъ быстро и достаточно врно. Притомъ употреблять его можетъ всякій, даже незнающій геометріи, потому-что исчисленіе помощію этого снаряда производится чисто-механическими пріемами. Вотъ устройство этого прибора для масштаба 1/8400 или ста сажень въ одномъ англійскомъ дюйм: на металлической пластинк начерченъ прямоугольникъ, дв параллельныя стороны его длаются въ 16 дюймовъ длины. Перпендикулярныя къ нимъ стороны каждая длается длиною въ 4,8 дюйма, Нижняя линія (длиною въ 10 дюймовъ) слва до средины своего протяженія раздлена на двадцатыя части дюйма, а отъ середины до праваго конца на десятыя части дюйма. На верхней половиц праваго бока прямоугольника откладываются части по 0,024 дюйма каждая, а на нижней половин по 0,048 дюйма. Точки дленія праваго бона прямоугольника съ соотвтственными дленіями нижняго бока соединяются кривыми линіями. Каждая кривая проводится такъ {Каждая кривая есть равносторонняя ипербола, отнесенная къ постояннымъ ассимптотамъ. Уравненіе такой иперболы есть: Изъ этого уравненія видно, что въ одной, и той же ипербол, отнесенной къ ея ассимптотамъ, прямоугольники, построенные изъ координатъ произвольныхъ ея точекъ, будутъ вс равномрны.}, что вс прямоугольники, построенные отъ лваго конца верхняго края, между верхнюю и лвою сторонами и кривою,t равно велики между собою, слдовательно, и половины ихъ, то-есть, прямоугольные треугольники, тоже будутъ равномрны между собою. Если одинъ изъ прямоугольниковъ, построенныхъ по этому способу, пріймемъ равнымъ одной десятин, то и вс другіе прямоугольники, прикасающіеся однимъ угломъ своимъ къ той же кривой, тоже будутъ равны одной десятин, а прямоугольные треугольники, ихъ половины, составятъ каждый 1/2 десятины. На планиметр г. Ермакова про ведены кривыя для полудесятинъ и для цлыхъ десятинъ, кривыя для каждыхъ пяти десятинъ проведены толще другихъ. Если хотимъ измрять площадь на план, то, во-первыхъ, вписываемъ въ эту площадь прямоугольникъ извстной величины, напримръ, въ 100,200 и пр. десятинъ, а оставшееся затмъ пространство разбиваемъ на треугольники, величину которыхъ весьма-легко опредлить новоизобртеннымъ планиметромъ. Чтобъ исчислить площадь треугольника, прикладываемъ къ его основанію планиметръ длиннйшею стороною, изъ конца основанія этого треугольника перпендикулярно къ сторон планиметра откладываемъ циркулемъ высоту треугольника, черезъ что на планиметр и образуется воображаемый прямоугольный треугольникъ равно-великій измряемому треугольнику, потому-что основанія ихъ и высоты равны между собою. А какъ вс такіе прямоугольные треугольники, касающіеся вершиною своею одной и той же кривой, равномрны, то, слдовательно, цифра, стоящая на нижнемъ конц этой кривой, и покажетъ величину площади даннаго треугольника. Это основывается на томъ, что вс прямоугольные треугольники, высоты которыхъ отложены на нижнемъ кра планиметра, имютъ общее основаніе (т. е. сторону планиметра равную 4,8 дюйма), слдовательно, площади ихъ измряются величинами этихъ высотъ.
Легко видть, что если нижній конецъ той кривой линіи, до которой доходитъ высота даннаго треугольника, показываетъ, на-примръ, на четвертое дленіе, т. е. если высота прямоугольнаго треугольника будетъ 1/20 дюйма или 20 саж. по принятому сотенному масштабу, то это значитъ, что площадь этого треугольника, а слдовательно, и даннаго равна двумъ десятинамъ, ибо, какъ извстно, площадь треугольника равна основанію его, помноженному на половину высоты, т. е., въ нашемъ случа равна 480 20/2 = 4800 квадратныхъ сажень, или двумъ десятинамъ.
Такимъ-образомъ всякая площадь опредляется ручнымъ планиметромъ скоро и врно, и изобртатель иметъ полное право надяться, что инструментъ его войдетъ во всеобщее употребленіе, какъ теперь онъ уже употребляется во всхъ межевыхъ учебныхъ заведеніяхъ.