Тридцать простых приемов устного счета, Перельман Яков Исидорович, Год: 1941 читать онлайн, скачать электронную книгу fb2, pdf бесплатно

Время на прочтение: 7 минут(ы)

Тридцать простых приемов устного счета

Составил Я. И. ПЕРЕЛЬМАН

Ленинград.

1941

От составителя

В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.

Умножение на однозначное число

ї 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 в 8), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 в 8 = 160), затем единицы (7 в 8 = 56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34 в 7 = 30 в 7 + 4 в 7 = 210 + 28 = 238(
47 в 6 = 40 в 6 + 7 в 6 = 240 + 42 = 282(

ї 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19 в 9:

	2	3	4	5	6	7	8	9
11	22	33	44	55	66	77	88	99
12	24	36	48	60	72	84	96	108
13	26	39	52	65	78	91	104	117
14	28	42	56	70	84	98	112	126
15	30	45	60	75	90	105	120	135
16	32	48	64	80	96	112	128	144
17	34	51	68	85	102	119	136	153
18	36	54	72	90	108	126	144	162
19	38	57	76	95	114	133	152	171

Зная эту таблицу, можно умножение, например, 147 в 8 выполнить в уме так:

147 в 8 = 140 в 8 + 7 в 8 = 1120 + 56 = 1176.

ї 3. Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например:

225 в 6 = 225 в 2 в 3 = 450 в 3 = 1350

Умножение на двузначное число

ї 4. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют( действие, как указано в ї 1. Например:

6 в 28 = 28 в 6 = 120 + 48 = 168

ї 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29 в 12 = 29 в 10 + 29 в 2 = 290 + 58 = 348

41 в 16 = 41 в 10 + 41 в 6 = 410 + 246 = 656

(или 41 в 16 = 16 в 41 = 16 в 40 + 16 = 640 + 16 = 656)

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

ї 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2 в 7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. ї 3). Например:

45 в 14 = 90 в 7 = 630

Умножение на 4 и на 8

ї 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

112 в 4 = 224 в 2 = 448

335 в 4 = 670 в 2 = 1340

ї 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

217 в 8 = 434 в 4 = 868 в 2 = 1736

(Еще удобнее: 217 в 8 = 200 в 8 + 17 в 8 = 1600 в 13 = 1736).

Деление на 4 и на 8

ї 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

76 : 4 = 38 : 2 = 19

236 : 4 = 118 : 2 = 59

ї 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464 : 8 = 232 : 4 = 116 : 2 = 58

516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 64¹/₂

Умножение на 5 и на 25

ї 11. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на

, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74 в 5 = 740 : 2 = 370

243 в 5 = 2430 : 2 = 1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74 в 5 =

в 10 = 370

ї 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на

100

, т. е. — если число кратно 4-х — делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72 в 25 =

в 100 = 1800

Если же число при делении на 4 дает остаток, то

при остатке:	приписывают к частному
1	25
2	50
3	75

Основание приема ясно из того, что

100 : 4 = 25, 200 : 4 = 50, 300 : 4 = 75

Умножение на 1¹/₂, на 1¹/₄, на 2¹/₂, на ³/₄

ї 13. Чтобы устно умножить число на 1¹/₂ прибавляют к множимому его половину. Например:

34 в 1¹/₂ = 34 + 17 = 51

23 в 1¹/₂ = 23 + 11¹/₂ = 34¹/₂ (или 34,5)

ї 14. Чтобы устно умножить число на 1¹/₄, прибавляют к множимому его четверть. Например:

48 в 1¹/₄ = 48 + 12 = 60

58 в 1¹/₄ = 58 + 14¹/₂ = 72¹/₂ или (72,5)

ї 15. Чтобы устно умножить число на 2¹/₂, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:

18 в 2¹/₂ = 36 + 9 = 45

39 в 2¹/₂ = 78 + 19¹/₂ = 97¹/₂ (или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18 в 2¹/₂ = 90 : 2 = 45

ї 16. Чтобы устно умножить число на ³/₄ (т. е. чтобы найти ³/₄ этого числа), умножают число на 1¹/₂ и делят пополам. Например:

30 в ³/₄ =

30 + 15

= 22¹/₂

(или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15, на 125, на 75

ї 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1¹/₂ (потому что 10 в 1¹/₂ = 15). Например:

18 в 15 = 18 в 1¹/₂ в 10 = 270(

45 в 15 = 450 + 225 = 675

ї 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1¹/₄ (потому что( 100 в 1¹/₄ = 125). Например:

26 в 125 = 26 в 100 в 1¹/₄ = 2600 + 650 = 3250

47 в 125 = 47 в 100 в 1¹/₄ = 4700 +

4700

= 4700 + 1175 = 5875

ї 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на ³/₄ (потому что 100 в ³/₄ = 75). Например:

18 в 75 = 18 в 100 в ³/₄ = 1800 в ³/₄ =

1800 + 900

= 1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом ї 6:

18 в 15 = 90 в 3 = 270

26 в 125 = 130 в 25 = 3250

Умножение на 9 и на 11

ї 20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62 в 9 = 620 — 62 = 600 — 42 = 558

73 в 9 = 730 — 73 = 700 — 43 = 657

ї 21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87 в 11 = 870 + 87 = 957

Деление на 5, на 1¹/₂, на 15

ї 22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:

68 : 5 =

136

= 13,6

237 : 5 =

474

= 47,4

ї 23. Чтобы устно разделить число на 1¹/₂, делят удвоенное число на 3. Например:

36 : 1¹/₂ = 72 : 3 = 24

53 : 1¹/₂ = 106 : 3 = 35¹/₃

ї 24. Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например:

240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 = 16

462 : 15 = 924 : 30 = 30

= 30⁴/₅ = 30,8

(или 924 : 30 = 308 : 10 = 30,8)

Возвышение в квадрат

ї 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8 в 9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

25², 2 в 3 = 6, 625

45², 4 в 5 = 20, 2025

145², 14 в 15 = 210, 21025

Прием этот вытекает из формулы

(10x + 5)² = 100x² + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25

ї 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,5² = 72,25 14,5² = 210,25

0,35² = 0,1225, и т. п.

ї27. Так как 0,5 = ¹/₂, а 0,25 = ¹/₄, то приемом ї25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ¹/₂:

(8¹/₂)² = 72¹/₄

(14¹/₂)² = 210¹/₄ и т. п.

ї 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а Ђ b)² = а² + b² Ђ 2аb. Например

41² = 40² + 1 + 2 в 40 = 1601 + 80 = 1681

69² = 70² + 1 — 2 в 70 = 4901 — 140 = 4761

36² = (35 + 1)² = 1225 + 1 + 2 в 35 = 1296

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

Вычисления по формуле

(а + b) (а — b) = а² — b²

ї 29. Пусть требуется выполнить устно умножение

52 в 48

Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2) в (50 — 2) и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50 + 2) в (50 — 2) = 50² — 2² = 2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:

69 в 71 = (70 — 1) в (70 + 1) = 4899(

33 в 27 = (30 + 3) в (30 — 3) = 891(

53 в 57 = (55 — 2) в (55 + 2) = 3021(

84 в 86 = (85 — 1) в (85 + 1) = 7224

ї 30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

7¹/₂ в 6¹/₂ = (7 + ¹/₂) в (7 — ¹/₂) = 48³/₄

11³/₄ в 12¹/₄ = (12 — ¹/₄) в (12 + ¹/₄) = 143

Полезно запомнить

37 в 3 = 111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37 в 6 = 37 в 3 в 2 = 222

37 в 9 = 37 в 3 в 3 = 333

37 в 12 = 37 в 3 в 4 = 444

37 в 15 = 37 в 3 в 5 = 555 и т. д.

7 в 11 в 13 = 1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77 в 13 = 1001	91 в 11 = 1001
77 в 26 = 2002	91 в 22 = 2002
77 в 39 = 3003	91 в 33 = 3003(
и т. д.	и т. д.

143 в 7 = 1001

143 в 14 = 2002

143 в 21 = 3003

и т. д.

В нашей книжечке указаны только ростейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.

УКАЗАТЕЛЬ

Умножение

на однозначное число	її 1— 3
на двузначное число	її 4— 6
разности на сумму	її 29—30
на ³/₄	ї 16
1¹/₄	ї 14
1¹/₂	ї 13
2¹/₂	ї 15
4	ї 7
5	ї 11
8	ї 8
9	ї 20
11	ї 21
15	ї 17
25	ї 12
75	ї 19
125	ї 18

Деление

на 1¹/₂	ї 23
4	ї 9
5	ї 22
8	ї 10
15	ї 24
Возвышение в квадрат	її 25—28

	2	3	4	5	6	7	8	9
11	22	33	44	55	66	77	88	99
12	24	36	48	60	72	84	96	108
13	26	39	52	65	78	91	104	117
14	28	42	56	70	84	98	112	126
15	30	45	60	75	90	105	120	135
16	32	48	64	80	96	112	128	144
17	34	51	68	85	102	119	136	153
18	36	54	72	90	108	126	144	162
19	38	57	76	95	114	133	152	171

	2	3	4	5	6	7	8	9
11	22	33	44	55	66	77	88	99
12	24	36	48	60	72	84	96	108
13	26	39	52	65	78	91	104	117
14	28	42	56	70	84	98	112	126
15	30	45	60	75	90	105	120	135
16	32	48	64	80	96	112	128	144
17	34	51	68	85	102	119	136	153
18	36	54	72	90	108	126	144	162
19	38	57	76	95	114	133	152	171

Читайте также:

	2	3	4	5	6	7	8	9
11	22	33	44	55	66	77	88	99
12	24	36	48	60	72	84	96	108
13	26	39	52	65	78	91	104	117
14	28	42	56	70	84	98	112	126
15	30	45	60	75	90	105	120	135
16	32	48	64	80	96	112	128	144
17	34	51	68	85	102	119	136	153
18	36	54	72	90	108	126	144	162
19	38	57	76	95	114	133	152	171