Отрывки из разсуждения о чистой математике, Перевощиков Дмитрий Матвеевич, Год: 1818 читать онлайн, скачать электронную книгу fb2, pdf бесплатно

Время на прочтение: 18 минут(ы)

Отрывки изъ разсужденія о Чистой Маематики.

I.
Цль сочиненія.

Упражняясь много лтъ въ преподаваніи Маематики, вникая въ способы ученія другихъ наставниковъ, совтуясь съ людьми знающими и опытными, я уврился совершенно, что медленные успхи сей науки въ нашемъ Отечеств происходятъ единственно отъ того, что учащіе не наблюдаютъ счастливой средины: они или показываютъ своимъ ученикамъ одну только поверхность, не раскрывая главныхъ основаній, или вдаются въ млочныя подробности, останавливающія дйствія ума. Первые возбуждаютъ къ наук презрніе, а вторые — отвращеніе. Я считаю нужнымъ объяснить сіе лучше.

Обыкновенно думаютъ, что способы преподаванія Маематики должны быть различны, смотря по назначенію учащихся. Другими словами: кто готовится къ учености, того должно учить и боле и лучше, воину надлежитъ показать только то, что полезно для его состоянія, для намревающагося отправлять должности мирнаго гражданина достаточно и того, чтобъ онъ умлъ считать и приобрлъ бы легкое понятіе о Маематик, дабы онъ, какъ говорятъ, не былъ невждою. О! какая ложная мысль!

Кто знаетъ состояніе наукъ въ другихъ странахъ Европы, на примръ во Франціи, Англіи, Германіи, тому извстно, что тамъ Маематика не есть ремесло, но считается наукою, ею занимаются и литтераторы, и воины, и граждане. Ежели не ошибаюсь, то въ Германіи и Англіи курсъ Маематики входитъ въ составъ курса Философіи {По крайней мр такъ было прежде.}.

Читая исторію успховъ ума человческаго, не трудно замтить, что наукамъ суждено обойти весь міръ, а не единовременно озарить его своимъ свтомъ. Каждый народъ боле или мене уважалъ Маематику, но Греки, которые сдлались всеобщими наставниками и въ литтератур и въ искусствахъ и даже въ Философіи, считали Маематику основаніемъ всхъ познаній. Вотъ неоспоримое свидтельство преимущества сей науки!

Но примры не составляютъ полнаго доказательства, и потому, не распространяясь о семъ, предложу, кратко общія основанія, которыя точне покажутъ, что учиться Маематик надлежитъ всмъ. — Неоспоримо, что умъ, управляющій всми нашими дйствіями и поступками, требуетъ образованія, а которая изъ наукъ можетъ столь скоро и врно приучить насъ къ правильному размышленію и къ основательному, глубокому вниманію? Хотя Логика и учитъ разсуждать, однако она показываетъ одн токмо формы, Маематика же, особенно основная часть ея Геометрія, даетъ матерію для разсужденія. Логика по необходимости должна заимствовать примры изъ Геометріи {Мн случалось читать въ Логикахъ, изданныхъ на Рускомъ язык, самые странные примры. Любопытный на первый случай можетъ заглянуть въ Логическія наставленія г-на Пр. Л. Соч.}.

Дале: никто не можетъ обойтись безъ познанія Природы, но что такое Физика безъ Маематическихъ вычисленій? Нютонъ, Лапласъ, Ейлеръ, Біотъ и многіе другіе не могли бы сдлать тхъ важныхъ открытій, которыя распространили свтъ на явленія Природы, если бы сіи великіе мужи не обладали обширными Маематическими свдніями. Самыя искусства, особенно Архитектура, боле или мене опираются на Маематику. Не говорю уже о мореплаваніи, о наукахъ военныхъ, о практической механик: вс знаютъ, что тутъ ни шагу не льзя сдлать безъ Маематики.

Заключимъ: Маематика есть основаніе всхъ человческихъ познаній, и такъ всякой долженъ ей учиться, если: не съ равной обширностію, то по крайней мр съ равною основательностію {Не можно читать безъ удовольствія прекрасное сочиненіе г. Пр. Никольскаго: Слово о Польз Математики. 1816 года. Coч.

Теперь обратимся къ способностямъ людей. Замчено, что Рускіе имютъ умъ основательный и понятливость удивительную. По сему обязанность учителей Маематики состоитъ въ томъ, чтобъ подкрплять сіи благія дары Природы, а незаглушать и не стснятъ ихъ. Вотъ почему, имя предъ собой различныя книги, изданныя во Франціи и въ другихъ странахъ Европы для преподаванія по нимъ Маематики, я ни одной изъ нихъ не находилъ удовлетворительною, надлежитъ уподобиться трудолюбивой пчел, которыя составляетъ медъ изъ различныхъ веществъ, но такая работа требуетъ великихъ усилій и средствъ, которыя не всякому достаются, ради сего, вмсто необдуманныхъ компиляцій, начальныхъ основаній Маематики и буквальныхъ переводовъ такихъ Маематическихъ книгъ, которыя не годится и для того народа, на язык коего он написаны {О книгахъ, которыя здсь разумю, сказано будетъ въ своемъ мст. Соч.}, надлежитъ кому-нибудь изъ опытныхъ и знающихъ свое дло людей, взять на себя почтенный трудъ издать полную систему Маематики, гд наука была бы предложена въ ныншнемъ ея состояніи, ясно, основательно безъ отяготительныхъ подробностей, такъ чтобъ сія книга могла служить руководствомъ, которое довело бы желающихъ до глубочайшихъ познаній въ Маематик, и было бы удовлетворительнымъ для людей, не посвящающихъ себя особенно сего рода занятіямъ.

Не смю и думать о такомъ важномъ предприятіи, но желая участвовать въ немъ по мр силъ своихъ считаю не безполезнымъ предложить нкоторыя идеи о способ преподаванія Маематики, а какъ прежде должно показать состояніе науки, то разсужденіе свое раздляю на дв части: на историческую и философскую, ограничиваясь токмо Чистою Маематикой.

Здсь предлагаются на судъ читателей отрывки изъ сего разсужденія.

ІІ.
Мннія о начал Ариметики и Геометріи.

Исторія начинается преданіями. Сіи преданія со временемъ совершенно теряются, или столько измняюліся, что надобно имть и большую проницательность ума и великое терпніе, дабы добраться до истины, а иногда и всякія усилія остаются тщетными. Таковыхъ сомнительныхъ пунктовъ въ Исторіи народовъ находится премножество. Ежели тотъ предметъ, коимъ занимались и занимаются ученые всхъ временъ, имя обильныя пособія въ лтописяхъ, памятникахъ и пр., не получилъ еще надлежащаго совершенства, то можно ли требовать, чтобъ исторія успховъ ума человческаго была, удовлетворительною, когда современники почти не обращали вниманія на столь важную отрасль, познаній потомства? — Такимъ образомъ почти ничего, не льзя сказать ршительнаго о мст рожденія Ариметики и Геометріи. Вотъ нкоторыя, о семъ предмет мннія.

Страбонъ считаетъ за несомннное, что Финикіяне, какъ искуснйшіе торговцы, первые занимались Ариметикой, а Кодринъ увряетъ даже, что Фениксъ, сынъ Агенора, писалъ о сей наук на язык Финикійскомъ. Напротивъ сего Платонъ изобртеніе чиселъ, и счета приписываетъ Тоуту или Тоту, историкъ же древностей Іудейскихъ, почитаетъ Авраама древнйшимъ Ариметистомъ. — Ежели справимся у другихъ народовъ, то безъ сомннія, каждый изъ нихъ, найдетъ какія нибудь свидтельства, что и его предки участвовали въ изобртеніи счета и были непослдними Ариметистами. Что же изъ сего заключить должно? — То, по моему мннію, что Ариметика также древна, какъ и родъ человческій. Ибо въ какомъ бы состояніи человкъ ни находился, всегда будетъ онъ окруженъ отдльными предметами, слдственно, всегда долженъ будетъ считать, и десять пальцовъ его рукъ первые возбудятъ въ немъ сію необходимость. Здсь заключается и причина десятеричнаго счета почти у всхъ народовъ. — Думая такимъ образомъ, нахожу страннымъ, что достопочтенный Монтукла (Истор. Мфте. T. I, стр, 44) не хочетъ врить, что Авраамъ умлъ считать, и говоритъ: c’est un de ces traips, qui ne peuvent trouver de l’accueil qu’auprиs de quelque compelateur dnu de critique et de raisonnemet (ето одинъ изъ тхъ случаевъ, которые заслуживаютъ вроятіе компилатора, незнающаго критики и не размышляющаго). Такой приговоръ слишкомъ строгъ, и можетъ имть всъ только въ томъ случа, когда дло идетъ объ Ариметик систематической: ибо, вроятно, что Авраамъ не имлъ надобности сочинять учебной книги, но не уже ли кто повритъ, что или Египтяне, или Финикіяне, или другіе народы имли подобныя сочиненія.

Мннія о начал Геометріи столь же разнообразны и столь же неосновательны. Проклъ въ своихъ комментаріяхъ на первую книгу Евклидовыхъ Елементовъ увряетъ, что разлитіе Нила точно было первою побудительною причиною составленія начальныхъ правилъ о измреніи протяженнаго количества, и что посему-то Греки назвали сію науку Геометріею, т. е. Землемріемъ. Ежели обольстимся етимологіею, то лучше повримъ Иродоту, который разсказываетъ, что Геометрія родилась въ то время, когда Сезострисъ изрылъ Египетъ многочисленными каналами. Нютонъ, принимая сіе мнніе, прибавляетъ, что Сезострисъ сдлалъ сіе по совту вельможи своего Тота, который есть тотъ же человкъ, что и Озиридъ.— Оба сіи мннія могутъ быть справедливы только до нкоторой степени, именно: если Египтяне точно не хотли, или не могли положить постоянныхъ признаковъ разграниченія земель своихъ, то они и Царь Сезострисъ должны были прибгнуть къ искуственнымъ средствамъ для безобиднаго размежеванія, но безъ сомннія ихъ средства не были собственно Геометрическія: ибо и нын сельскіе жители, не зная Геометріи, умютъ раздлять поля свои и такъ искать въ сихъ двухъ случаяхъ начала Геометріи, какъ науки, значитъ слишкомъ предаваться своему воображенію. Гораздо основательне думаетъ Аристотель: ‘Маематическія познанія’ говоритъ онъ въ своей Метафизик, ‘родились въ Египт, потому что въ сей стран жрецы, бывъ совершенно удалены отъ длъ житейскихъ, имли досугъ предаваться ученію и размышленіямъ. Сіе подтверждаетъ Діодоръ, да и Метафизическое понятіе о Геометріи весьма благоприятствуетъ сему мннію.

III.
О школ алесовой.

алесъ, родившійся за 640 лтъ до Р. X., предпринималъ путешествіе въ Египетъ. Тамъ бесдовалъ онъ со жрецами, но трудно ршить, вознаградила ли сія бесда т безпокойства, которыя мудрецъ долженъ былъ потерпть отъ продолжительнаго пути. алесъ удивилъ Амазиса, измривши при немъ пирамиды, безъ сомннія, чрезъ пропорціональность сторонъ двухъ прямоугольныхъ треугольниковъ {Діогенъ говоритъ, что алесъ для измренія пирамидъ избралъ то мгновеніе, когда тнь отъ человка равняется его росту. Геній мудреца требуетъ, чтобъ мы предположили въ немъ и большее остроуміе и боле учености. Соч.}, слдственно жрецы не знали сего свойства треугольниковъ, слдственно алесъ или самъ открылъ свое, или понялъ темныя для жрецовъ начала Геометріи, начертанныя на столбахъ Меркуріемъ Тресмегистомъ, если повримъ существованію сихъ столбовъ. Но какъ бы то ни было, только: алесъ возвратился въ Грецію съ обильнымъ запасомъ маематическихъ познаній, и не подражая завистливымъ жрецамъ Египта, началъ открывать оныя своимъ согражданамъ. Удивленіе было соразмрно новости и важности истинъ: стеклось множество слушателей, и тмъ положено основаніе школ, которая получила наименованіе Іонической, отъ отечества ея основателя.

Геометрія одолжена алесу многими важными открытіями: жаль, что за недостаткомъ свидтельствъ не возможно именно означать сіи открытія, извстно только, что свойство круга, по коему всякой уголъ, имющій вершину на окружности и опирающійся своими сторонами на концы діаметра, есть прямой, восхитило его до такой степени, что онъ принесъ жертву Музамъ.

Преемникомъ алеса былъ ученикъ его Анаксимандръ. Историки пишутъ, что онъ первый началъ чертить геометрическія фигуры {Смотри Biographie Universelle, ancienne et moderne. T II, p. 48.}. За Анаксимакдромъ слдовали Анаксименъ и Анаксагоръ {Анаксагоръ, сынъ Гегезибула, родился въ Клазомен, въ первый годъ 70 Олимпіады, за 500 лтъ до Р. X. — Онъ презрлъ богатое наслдство и предался наукамъ, путешествовалъ по всмъ землямъ, гд только надялся чему нибудь научиться. Въ Аины возвратился онъ при Перикл, сдлался его другомъ, претерплъ гоненіе и умеръ 72 лтъ въ бдности. См. вышеприведенной книги cm. 95.}, о коихъ знаемъ только вообще, что они занимались Маемaтикоіо, о послднемъ же повствуютъ, будто бы онъ, находясь въ темниц, искалъ квадратуру круга.

Хотя сіи извстія весьма недостаточны однако не льзя не усмотрть, что алесъ и его преемники положили для Геометріи твердое основаніе, и что она изъ искусства превратилась въ науку. Если же Іоническая школа не привела своихъ начатковъ къ большему совершенству, то причиною сего можно полагать сильное желаніе членовъ сей школы истолковать тайны Природы. Вначал умъ человческой всегда блуждаетъ, не зная ни силъ своихъ, ни пособій, которыя усплъ заготовить.

IV.
О школе Пиагоровой.

Пиагоръ путешествовалъ въ Египетъ и въ Индію до береговъ Ганга. Вотъ слдствія сего путешествія.

Боецій {Боецій жилъ въ 5 и 6 столтіяхъ, былъ другомъ еодорика, который превратился потомъ въ его тирана, и добродтельнйшаго вельможу предалъ мучительной смерти по навтамъ двухъ вроломныхъ Готовъ. Боецій занимался науками и писалъ о Маематическихъ предметахъ, Ариметика его издана подъ названіемъ: De fev. Boetii Arithmetica, adjscto commentafio, etc. Венеція, 1488, in 4e, а въ Париж сія же книга напечатана 1521 года, in fol. Соч.} въ своей Геометріи говоритъ что нкоторые Пиагорейцы изобрли и употребляли въ своихъ исчисленіяхъ девять особенныхъ знаковъ, между тмъ какъ вс прочіе считали посредствомъ буквъ своего алфавита. Знаки сіи весьма сходны съ тми, которые получены нами отъ Арабовъ.

Монтукла приводитъ слдующія доказательства объ Индійскомъ происхожденіи оныхъ знаковъ:

1. Въ различныхъ библіотекахъ находятся манускрипты Арабскихъ трактатовъ объ Ариметик подъ названіями: Искусство считать по способу Индійцевъ, Индійское исчисленіе, и пр. Въ одномъ изъ сихъ манускриптовъ, принадлежащемъ Лейденской библіотек, числительные знаки очень сходны съ нашими и съ Планудіевыми.

2. Ал-Сефади, въ своихъ комментаріяхъ на знаменитую поему Араба Торгая, замчаетъ, что Индія славится тремя вещами: книгою подъ названіемъ Полайла-ве дамма {Ето есть сочинитель басень, подобныхъ Езоповымъ. Соч.}, способомъ считать и игрою въ шахматы. Также сюда принадлежитъ свидтельство Абенъ-Рагеля и Арабскаго писателя XIII вка, онъ, въ предисловіи къ трактату объ Астрономіи, хранящемуся въ Лейденской библіотек, пишетъ, что изобртеніе сего рода Ариметики есть дло Индіискихъ философовъ.

3. Монаху Планудію, писавшему въ XIII вк, принадлежитъ сочиненіе подъ названіемъ: Ариметика Индійская, или способъ считать поиндійски. Система счисленія, которую онъ тутъ изъясняетъ, совершенно сходна съ употребляемою. нын, и знаки его, хотя отличные отъ нашихъ, малымъ чмъ отличаются отъ знаковъ Ал-Сефади. Сверхъ сего, изложивши форму девяти знаменательныхъ знаковъ сей Ариметики, онъ говоритъ: сіи девять знаковъ суть Индійскіе. Потомъ прибавляетъ: есть еще десятый знакъ, именуемый , который изображается чpeзъ о, и который ничего не означаетъ {Монтукла замчаетъ, что здсь заключается истинная етимологія слова цифра, коимъ, по злоупотребленію, введенному въ недавніе вки, называются вс наши числительные знаки. Греческое (?), слово, явно показываетъ, что оно происходитъ не отъ sephera (numeravit), но отъ, Tzephera (vacuus seu inanis suit).— Также извстный Сегнеръ въ Своей Ариметик называешъ нуль цифрою.}.

4. Когда ныншняя Ариметика начала въ ХШ вк входитъ въ употребленіе у Европейцовъ, тогда никто не суммвался въ Индійскомъ ея произхожденіи.

Къ сему присоединяетъ Монтукла и другія разсужденія, о коихъ умалчиваю ради краткости, и потомъ выводитъ такое заключеніе: ‘Индійцы весьма привязаны къ своимъ обыкновеніямъ и неспособны принимать оныя отъ чужеземцевъ. И такъ полагаю, что наша Ариметика родилась въ Индіи, откуда мало помалу перешла къ Арабамъ и къ другимъ Восточнымъ народамъ, съ коими Греки имли сношенія въ первыхъ вкахъ по основаніи Константинополя. Въ сіе-то время, можетъ быть Греки узнали ее, но какъ тогда науки ихъ клонились уже къ паденію, то сіе познаніе осталось безплоднымъ, заключеннымъ въ однхъ токмо книгахъ. Боецій, писавшій въ начал шестаго вка и получившій вс свои познанія отъ Грековъ, свдалъ также и объ сей Ариметик, помстилъ ее въ свою Геометрію, назвавъ изобртеніемъ Пиагора,’ и проч.

Если бы можно было доказать, что Ариметика не существовала еще въ Индіи въ то время, когда Пиагоръ посщалъ сію страну, то надлежало бы согласиться съ изложеннымъ мнніемъ знаменитаго Монтуклы. Но древность Индійцовъ не позволяетъ сомнваться и въ древности Ариметики, ради сей причины побуждаюсь думать, что Пиагоръ точно зналъ сію десятеричную Ариметмку, употреблялъ ее въ своихъ счислееіяхъ, и провидя всю пользу, которую принесетъ сей способъ, возбудилъ въ ученикахъ своихъ чрезвычайное къ нему удивленіе, которое возвысилось до ентузіазма и произвело извстный Пиагоріанской мистицизмъ, воспрепятствовавшій распространенію Ариметическихъ познаній между согражданами Пиагора.

Сего мннія не выдаю за неоспоримое, мн кажется только, что обстоятельства дла позволяютъ такъ думать.

Теперь исчислимъ т услуги, оказанныя Маематик италіанскою школой, которыя не подвержены никакому сомннію.

Кому изъ занимающихся Маематикою не извстно, что еорема о квадрат изъ ипотенузы прямоугольнаго треугольника есть изобртеніе Пиагора? — Сія еорема составляетъ нкоторую епоху въ приращеніи наукъ Маематическихъ: ибо ея различныя примненія много разширили предлы Геометріи. Думаютъ, что Пиагоръ за сію еорему благодарилъ Музъ жертвою, изо ста быковъ состоящею: но Пиагоръ есть основатель системы преселенія душъ.

Изъ учениковъ Пиагора извстнйшіе суть:

1. Архитасъ, который разршилъ вопросъ о двухъ среднихъ пропорціональныхъ, и который, будучи современникомъ и другомъ Платона, получилъ отъ него свдніе объ анализ и употреблялъ оный для новыхъ открытій. Онъ же сдлалъ прикладъ Геометріи къ Механическимъ вопросамъ.

2. Демокритъ, объяснившій елементнряое ученіе о соприкосновеніи круговъ и сферъ, о линіяхъ ирраціональныхъ и о тлахъ, чрезъ сіе Геометрія обогатилась новыми любопытными еоріями, хотя нкоторыя изъ нихъ, на примръ о правильныхъ тлахъ, совершенно безполезны.

3. Енопидъ. Сей Геометръ показалъ способъ чертить данному углу равный и опускать перпендикуляръ изъ данной точки на данную линію. — Монтукла сомнвается, чтобъ токмо сіе могло составить славу Енопида. Ежели судить о семъ по ныншнему состоянію Маематики, то не можно не считать сихъ открытій маловажными, но въ то время Геометрія не имла еще системы, для которой разршеніе оныхъ двухъ задачь необходимо.

4. Зенодоръ, оказавшій Геометрической точности значительную услугу тмъ, что опровергъ заблужденіе относительно разныхъ периметровъ, онъ уврилъ, что для равенства площадей недостаточно равенства периметровъ.

5. Иппократъ. Сверхъ извстной еоріи луночекъ {Иппократъ, обольстясь удобностію опредлять квадратуру луночки, надялся также безъ затрудненія найти квадратуру самаго круга. Хотя употребляемое имъ средство весьма остроумно, однако должно предполагать, что онъ самъ видлъ его несправедливость, и сдлалъ извстнымъ единственно съ тмъ намреніемъ, дабы показать, что если кто опредлитъ квадратуру луночки, ограниченной полуокружностію и шестою долею окружности, тотъ найдетъ квадратуру круга. Соч.}, онъ доказалъ, что задача объ удвоеніи куба зависитъ отъ опредленія двухъ среднихъ пропорціональныхъ количествъ.

Ежели справедливо, что Иппократъ трудился надъ составленіемъ елементовъ Геометріи, то надлежитъ заключить, что въ его время наука сія была столько распространена, что для удобнйшаго ея уразумнія настояла потребность въ систематическомъ изложеніи входящихъ въ составъ ея предметовъ.

(Оконч. въ слд. книж.)

——

[Перевощиков Д.М.] Отрывки из разсуждения о чистой мафематике / П-в // Вестн. Европы. — 1818. — Ч.99, N 12. — С.282-298.

Отрывки изъ разсужденія о Чистой Меематик.

(Окончаніе.)

V.
О школ Александрійской.

Смерть прервала стремленіе Александръ Македонскаго къ преобладанію, гигантская имперія раздлена была между его военачальниками: Лагусъ получаетъ Египетъ, и какъ скоро становится спокойнымъ обладателемъ, то царскій взоръ свой, вмст съ благотвореніями, обращаетъ на ученыхъ, которые приносятъ въ Александрію свои и предшественниковъ своихъ, познанія. Лагусъ не удовольствовался симъ, онъ захотлъ навсегда водворить науки въ подвластной ему стран, и завелъ школу, которая потомъ была усовершенствована Птоломеемъ Филадельфомъ. Между членами сей школы находятся мужи, навсегда прославившіеся. Первый изъ нихъ есть Евклидъ. Кто неслыхалъ о драгоцнномъ произведеніи сего Геометра? Его Елементы составляютъ основаніе всхъ геометрическихъ познаній: они съ совершенствомъ научаютъ разсуждать и показываютъ, въ чемъ состоитъ геометрическая строгость и точность. Въ своемъ мст будетъ объяснено, что вс покушенія новыхъ Маематиковъ перемнить связь, устроенную между предметами сего творенія, суть неуспшны, и, кажется, напрасны: надлежало бы токмо прибавить открытія Архимеда, и оставить сію книгу неприкосновенною, сдлавъ ее основаніемъ для зданія Геометріи. Древніе Геометры и нкоторые изъ новыхъ чувствовали сію истину, и старались умножать изданія Елементовъ. Изъ первыхъ Проклъ предпринималъ сдлать на нихъ обширныя замчанія, которыя однакожъ ограничиваются только первою книгою, очень жаль, что сей Геометръ не окончилъ труда своего: ибо въ его начал, хотя весьма утомительномъ отъ многословія, заключаются прекрасныя извстія касательно которой Маематики и важныя понятія о Метафизик сей науки: Изъ изданій же новыхъ Геометровъ предпочтительнйшія суть, Барова (1659) и Кейля (Keil), содержащія только 8 книгъ, т. е. 6 первыхъ и 11 и 12 изъ послднихъ (1701), Роберта Симсона, также изъ 8 книгъ, напечатанное въ Глазгов 1756 года — сіе изданіе принято Англичанами за классическое, и наконецъ въ 1809 году Пейраръ (Peyrard), Профессоръ Маематики и Астрономіи въ Лице Буонапарта, напечаталъ буквальный переводъ 8 Евклидовыхъ книгъ съ прибавленіемъ всего того, чего недоставало въ нихъ, и что дополнено Архимедомъ. Сверхъ сего Елементы переведены на вс Европейскіе языки, даже на Арабской, Персидской, Турецкой, Еврейской и наконецъ на Китайской. Должно думать, что сіи переводы совершены по большей части съ возможною исправностію. И такъ не надлежитъ ли намъ сожалть и стыдиться, что въ нашемъ Отечеств нтъ хорошаго изданія сей драгоцнной книги? Г. Академикъ Гурьевъ составилъ свою Геометрію, кажется, съ тмъ намреніемъ, чтобъ она въ полной мр замнила хорошее изданіе Евклидовыхъ Елементовъ, въ своемъ мст показано будетъ, сколько г. Гурьевъ усплъ въ семъ предпріятіи.

Маематическіе труды Евклида не ограничиваются Елементами, онъ принесъ также великую пользу анализу, стараясь, какъ кажется, положить оному твердыя начала: ибо книг его, именуемой Data, не можно приписать другой цли. Сверхъ того Паппусъ свидтельствуетъ, что Евклидъ писалъ о коническихъ сеченіяхъ, много разпространилъ ихъ еорію, и касался даже тхъ предметовъ, которые нын подлежатъ выкладкамъ высшаго анализа, каковы суть кривыя души о двухъ кривизнахъ.

Но глубокомысленнйшее его твореніе есть три книги о поризмахъ (de parismatibus). До крайности жаль, что сіе сочиненіе не дошло до насъ, а показанія Паппуса темны, даже Галлей, одинъ изъ величайшихъ знатоковъ древней Геометріи, признался, что совсмъ ихъ не понимаетъ. Хотя въ сочиненіяхъ. Роберта Симсана, изданныхъ (1776) Кловомъ посл его смерти, находятся догадки, въ чемъ состояли пориимы, однако и сей знаменитый Геометръ не могъ дать полнаго объ нихъ понятія. Вотъ слова Монтуклы о семъ предмет: ‘Въ древней Геометріи нтъ ничего темне и трудне поризмовъ, что подтверждается признаніемъ Галлея. Даже посл объясненій Роберта Симсона мы не надемся дать ясное понятіе о сущности поризма и объ отличіи его отъ еоремы и задачи: ибо сіе отличіе столь тонко, что едва ли мы будемъ въ состояніи опредлить, оное съ точностію.’ Паппусъ называетъ, сіи книги collectio artificissima multarum rerum, quae spectant ad analysim difficiliorum et generaliorum problematum, quorum ingentem copiam praebet natura etc.

Второй изъ тхъ славныхъ Маематиковъ Александрійской школы, коихъ сочиненія боле намъ извстны, есть Ератосенъ, мужъ, принадлежащій къ числу сихъ рдкихъ людей, которые своимъ геніемъ обнимаютъ вс роды познаній: онъ былъ ораторъ, стихотворецъ и антикварій, философъ и маематикъ. По словамъ Паппуса, онъ старался усовершенствовать анализъ и написалъ дв книги de locisd ad medietates, которыя по мннію Монтуклы суть не иное что, какъ коническія сченія {Здсь не мсто излагать предметъ сего сочиненія, замтимъ только, что заключающіяся въ немъ еоремы легко доказать посредствомъ новаго анализа. Соч.}.

Ератосенъ разршилъ также славную задачу объ удвоеніи куба, и показалъ любопытный способъ находить простыя числа. Сей способъ извстенъ подъ именемъ сита (crible), поелику онъ не есть прямой, a подающій средство исключить числа сложныя. Вотъ изложеніе онаго по записк Горлея (Horsley), напечатанной въ Философскихъ транзакціяхъ на 1772 годъ.

Во первыхъ явно, что вс числа четныя, кром 2, суть числа сложныя, и по крайней мр могутъ бытъ раздлены на 2 безъ остатка, и такъ изъ ряду натуральныхъ числъ надлежитъ оныя исключить, остаются нечетныя, начиная съ 3. Теперь, если за перваго длителя принято будетъ простое число 3, то не трудно усмотрть, что вс числа, длимыя на 3, отдлены одно отъ другаго двумя числами. Ежели за втораго длителя примется простое число 5, то вс числа, измряемыя 5ю, будутъ отдлены четырьмя числами. Ежели третьимъ длителемъ возмется 7, то числа, имющія сего длителя, будутъ находиться чрезъ шесть числъ и т. д., посл сего стоитъ только исключить т числа, которыя длятся на 3, 5,7 и пр.

Третій изъ мужей, прославившихъ Александрійскую школу, есть Аполлоній. Галлей въ предисловіи къ Коническимъ, сченіемъ сего древняго Геометра говоритъ, что онъ жилъ спустя 40 лтъ посл Архимеда. Обширный трактатъ о Коническихъ сченіяхъ есть главный трудъ Аполлонія, онъ получилъ за него проименованіе Великаго. — Кажется, что первые изъ занимавшихся коническими сченіями предполагали прескающую плоскость перпендикулярною къ сторон конуса, и слдственно употребляли три рода конусовъ, чтобъ получить еллипсисъ, параболу и гиперболу, сіи линіи извстны были подъ названіями: сеченіе конуса остроугольнаго, сеченіе конуса прямоугольнаго и сеченіе конуса тупоугольнаго. Аполлоній показалъ, что ихъ можно получить изъ сченій однаго и того же конуса, и притомъ первый ввелъ наименованія еллипсиса и гиперболы.— Обширность и изящество Аполлоніева трактата суть причины, для коихъ исчезли предшествующія ему о томъ же предмет сочиненія, равно какъ изъ всей древности остались одни токмо Елементы Геомеріи. До изобртенія книгопечатанія весьма трудно было доставать книги, а потому ограничивались важнйшими или полезнйшими, и часто довольствовались сокращеніями. Сіи сокращенія были вредны, потому что нкоторыя части сочиненій терялись, таковой участи подверглись Коническія сченія Аполлонія. Изъ осьми книгъ сего трактата дошли до Европейцовъ въ оригинал только четыре, которые сначала были изданы Мемміемъ на Латинскомъ язык въ 1557 году, а потомъ въ 1566 Коммандиномъ съ комментаріями Евтокія и леммами Паппуса, коими было объяснено, чему надлежало содержаться въ потерянныхъ книгахъ. Арабы, переселивъ къ себ познанія Грековъ, не оставили въ забвеніи сочиненія Аполлоніева, многократно переводили ихъ на свой языкъ и сдлали сокращенія. Также Персидскій Геометръ Нассиръ-Еддинъ въ 1250 году издалъ свой переводъ оныхъ, обогативъ его примчаніями. Все сіе было неизвстно въ Европ, гд не занимались Восточною Словесностію, и Вивіани, ученикъ Галилея, трудился надъ Гаданіемъ о книгахъ Аполлонія, какъ Альфонсъ Борелли нашелъ въ Медиційской Библіотек Арабскій манускриптъ, взглянувъ на чертежи, онъ узналъ въ немъ переводъ Коническихъ сеченій сего Геометра, и съ помощію Авраама Еччселленцевъ переложилъ ихъ на Латинскій языкъ: сей переводъ противу вышеупомянутыхъ содержалъ 5, 6 и 7 книги. Однако Вивіани просилъ, чтобъ Борелли не издавалъ своего труда до того времени, пока онъ окончитъ Гаданія. Въ 1659 году явилось въ свтъ сіе твореніе Вивіана. Сравнивая его съ сочиненіемъ Аполлонія, не льзя не сдлать объ немъ выгоднаго заключенія: то же глубокомысліе, та же обширность идей, такъ что Гаданія Вивіана могутъ служить дополненіемъ къ древней еоріи коническихъ сченій. Наконецъ ученый Голій (Golius) привезъ съ Востока новый екземпляръ Коническихъ сченій Аполлонія, состоящій также изъ 7 книгъ, но примчательный своими варіантами, которыми воспользовался Галлей и сдлалъ превосходное изданіе сего творенія, возстановивъ и 8 ю его книгу по показаніямъ Паппуса.

Хотя и другіе Маематическіе труды Аполлонія важны, однако здсь не можно изложить ихъ содержанія ради необходимости чертежей, и такъ приведемъ токмо ихъ заглавія: 1. De seсtiщne ratinis, 2. De sectiщne spаtii, 3. De sectione determinata, 4. De tactionibus, 5. De inclinationibus, 6. De locis planis.

VI.
Архимедъ и Діофант.

Въ то время, какъ Ератосенъ былъ украшеніемъ Александрійской школы, Архимедъ, жившій за 287 лтъ до Р. X., прославилъ свое отечество Сицилію важными открытіями въ Чистой и Прикладной Маематик.

Архимедъ, усмотрвъ, что въ Елементахъ Евклида недостаетъ, по видимому, существенной и полезнйшей части Геометріи — измренія пространствъ, ограниченныхъ прямыми и кривыми линіями и поверхностями, приступилъ къ дополненію сего недостатка. Да будетъ мн позволено предположить, что Архимедъ, прокладывая путь къ своей цли, связывалъ идеи такимъ образомъ {Боле нежели вроятно, что Великій Сицилійскій Геометръ слдовалъ другой дорог, но я длаю сіе съ тмъ намреніемъ? дабы сколько нибудь показать связь между предметами Геометріи, и отклонить нареканіе, что узнавъ Елементы Евклида, не будемъ умть найти площадь треугольника. Соч.}: Изъ предложенія XXIII книгъ VI Евклидовыхъ Елементовъ {Смотри: Les l&egrave,mens de Geometrie d’Euclide, etc. par F. Peyrard. 1809. Paris.} заключилъ онъ, что прямоугольникъ и квадратъ состоятъ въ сложномъ содержаніи своихъ сторонъ, потомъ, измнивши высоту и основаніе сего прямоугольника стороною квадрата, повелъ отсюда его совершенную мру. Но какъ по предложеніямъ XXXVI и XLI книги I прямоугольникъ можно уравнять параллелограму и треугольнику, то и сихъ фигуръ мры получить было не трудно. Посл сего Архимедъ не почелъ за нужное останавливаться на измреніи прочихъ плоскихъ пространствъ, ограниченныхъ прямыми линіями, — поелику сіи пространства могутъ быть раздляемы на треугольники, — и перешедъ къ кругу, увидлъ, что для измренія онаго потребно прежде сравнить его съ какою-либо прямо линейною фигурою, a лучше всего съ треугольникомъ. Здсь-то надлежало употребить способъ доказательства ad absurdum, принявъ въ основаніе еоремы, которыя Евклидъ считалъ парадоксами {Сіи еоремы суть: 1. Хорда мене своей дуги. 2. Часть касательной, ограниченная, двумя продолженными радіусами, боле соотвтствующей. дуги. Пейраръ говоритъ, что вс усилія доказать сіи дв еоремы были до сихъ поръ (до 1809 г.) тщетными. Въ самомъ дл неудачно покушеніе Лежандра доказать вообще, что изъ двухъ преломленныхъ или кривыхъ линій, вмщающихся одна въ другую, облекающая боле облекаемой, имютъ ли он, или не имютъ точекъ соприкосновенія. Но нашъ Геометръ Гурьевъ въ справедливости непочелъ за нужное подводить оныя дв еоремы подъ одну общую, и каждую изъ нихъ доказалъ съ возможною геометрическою строгостію.— Сверхъ сего способъ доказательства ad absurdum, превратившійся въ способъ предловъ, приведенъ симъ незабвеннымъ Маематикомъ во всеобщность, и статьи:о сравненіи круговъ, цилиндровъ, конусовъ и шаровъ приняли на себя такой видъ, то не обинуясь можно сказать, что доводы, коими Пейраръ старается подтвердить важнйшія истины, о кругахъ и трехъ круглыхъ тлахъ, почти не заслуживаютъ никакого вниманія. Соч.}. Совершивъ сіе, должно было найти приближенное отношеніе діаметра къ окружности, дабы величину всякаго круга можно было представить въ числахъ.

Показавъ мру плоскихъ пространствъ, подлежащихъ, разсматриванію въ Елементахъ Геометріи, Архимедъ перешелъ къ измренію тлъ, ограниченныхъ плоскостями. Основанія для сего измренія заключаются въ предложненіяхъ XXXI, XXXIII книги XI и въ предложеній, VII книги XII Елементовъ Евклида. Посл сего онъ не могъ уже пользоваться сею книгою, и руководимый собственнымъ геніемъ, предложилъ ту прекрасную еорію трехъ круглыхъ тлъ, которая составляетъ предметъ его книги о сфер и цилиндр и которая навсегда утвердила его славу. Самъ Архимедъ столько былъ восхищенъ своими открытіями, что завщалъ вырзать на гробниц своей изображенія сферы и цилиндра.

Посл сего Архимедъ обратился къ высшей Геометріи. Слдствіемъ его размышленій былъ трактатъ о коноидахъ и сфероидахъ, исполненный такаго глубокомыслія и остроумія, что немногіе изъ новыхъ Геометровъ, презирающихъ, методъ древнихъ, могутъ понимать его способы. Наконецъ рядъ своихъ открытій въ Чистой Маематик заключилъ онъ квадратурою параболы и изложеніемъ свойствъ спиральной линіи, изобртенной другомъ его Конономъ.

Нкоторые изъ современниковъ Архимеда утверждали, что никакое число не можетъ изобразить количество песка, находящагося на берегахъ моря. Архимедъ предпринялъ уничтожить сіе заблужденіе, и въ книг своей Psammites sev Arenarius показалъ, что когда предлы вселенной будутъ имть большее пространство, нежели то которое было предполагаемо, тогда пятидесятый членъ возрастающей десятеричной прогрессіи съ излишествомъ изобразитъ число песка, въ сихъ предлахъ заключащагося.

Въ заключеніе сей статьи изъявляю свое сожалніе о томъ, что, будучи ограниченъ тсными предлами моего разсужденія, не могу начертать здсь картины открытій Архимеда по части Механики, Гидростатики и Оптики,— открытій, коими сей великій мужъ принесъ наивеличайшую пользу отечественному городу, и доказалъ, что умствованія Геометровъ не суть тщетныя и въ общежитіи безполезныя.

Честь лучшаго изданія Архимедовыхъ твореній принадлежитъ Оксфордскому Университету. Сіе изданіе иметъ такое заглавіе: Archimedus, quae supersunt omnia cum Eutotii Ascalonitae ex recentione Iosephi Torelli Veronensis cum nova versione Latina, accedunt lectiones vuriantes ex cod. Medic. et Prisiensibus, Oxonii, 1793, in folio. Также заслуживаетъ вниманіе переводъ Архимедовыхъ сочиненій на Французской языкъ, сдланный Пейраромъ, Oeuvres d’Archimede, 1808.

Теперь приступаю къ описанію трудовъ такаго мужа, котораго должно причислить къ тмъ тремъ Геометрамъ древности (Евклиду, Аполлонію, Архимеду), коихъ творенія суть источники Маематическихъ познаній: — сей мужъ естъ Діофантъ, основатель Алгебры, или всеобщей науки счета.

Люди, одаренные геніемъ, могутъ преобразовывать науки и ускорять ихъ ходъ къ совершенству. Видли, что искусство считать, принадлежитъ всмъ народамъ, но только Индія положила для него твердыя, основанія, принявши десятеричное содержаніе чиселъ. Пиагоръ, можетъ быть, покоряясь обстоятельствамъ, набросилъ покровъ таиственности на сію важную отрасль человческихъ познаній, и тмъ воспрепятствовалъ ея распространенію между своими соотечественниками, такъ что до временъ Евклида Ариметика не была обработываема ученымъ образомъ. Въ его Элементахъ три книги, 7, 8 и 9, содержатъ разсужденія о свойствахъ чиселъ, необходимыхъ, для множества Ариметическихъ изысканій. Посл Евклида еоріею чиселъ занимался Ератосенъ. Видно также, что и Архимедъ обращалъ на сей предметъ нкоторое вниманіе, но не углублялся въ него. Въ пространств времени отъ Архимеда до Діофанта хотя многіе изъ занимающихся Маематикою писали объ Ариметик, однако ихъ сочиненія, какъ людей неодаренныхъ талантами, не сообщили сей наук ни большаго пространства, ни большаго совершенства, Маематики сіи не смли, такъ сказать, отдлиться отъ елементарности. Сверхъ того они вдавались въ мечты, обманывали другихъ и себя, и наносили великой вредъ наук. Порфирій писалъ о таинственности чиселъ, имаридасъ, есть сочинитель книги, называемой Epanthetna sev Florilegium, въ которой содержатся разныя ариметическія увеселенія, также Никомахъ составилъ трактатъ объ Ариметик, гд свойства чиселъ разсматриваетъ онъ по способу Пиагорейцовъ, слдственно ето есть собраніе жалкихъ мечтаній, унижающихъ умъ человческой. И такъ вс сіи люди были рабы своихъ предшественниковъ, и не воображали, что Ариметика можетъ получишь приращеніе, можетъ обратиться въ общую науку счета. Такая мысль прежде всхъ родилась въ голов Діофанта Александрійскаго, написавшаго трактатъ подъ заглавіемъ: Arithmeticorum libri, изъ коихъ дошли до насъ токмо шесть. Вотъ краткое изложеніе содержанія сихъ книгъ.

Во первыхъ замтимъ, что употрепляемяые Дифантомъ знаки сходствуютъ со знаками новыхъ алгебраистовъ до введенія въ Алгебру буквъ. На примръ неизвстное искомое число означаетъ онъ чрезъ , квадратъ числа называетъ , и означаетъ чрезъ ⁿ кубъ именуетъ и означаетъ чрезъ ⁿ, четвертая степень разумется у него подъ знакомъ ^n,a пятая подъ зяакомъ ⁿ, и пр. Чтожъ касается до изображенія четырехъ дйствій ариметическихъ, то одно токмо вычитаніе представляетъ Діофантъ чрезъ обращенное и нсколько усченное .

Діофантъ, углубляясь въ ариметическія дйствія, задавалъ себ различные вопросы, приближался всегда къ труднйшимъ, и наконецъ, достигши уравненія второй степени, встртилъ важное препятствіе въ извлеченіи корней. Здсь-то разкрылся геній сего остроумнаго Анализиста. Онъ изобрлъ средство избгать величинъ ортагональныхъ, и проложилъ дорогу къ неопредленной аналитик, которая усовершенствована нын Ейлеромъ, Дежандромъ, Лагранжемъ и Гауссомъ. Списобъ Діофанта состоитъ въ искусств превращать квадратныя уравненія въ первостепенныя, стараясь составлять такія, въ которыхъ бы уничтожились квадраты или искомаго, или даннаго числа.

Кром сего рода уравненій, которыя именуются простыми. Діофантъ разршаетъ еще такъ называемыя уравненія двойныя, выходящія изъ задачь, требующихъ двухъ одно отъ другаго зависящихъ выраженій. Но въ шести его книгахъ, пощаженныхъ временемъ, нтъ разршенія уравненій тройныхъ, четверныхъ, и прч.

Многіе изъ новйшихъ Маематиковъ занимались анализомъ Діофанта, и между нимъ Ферматъ съ успхомъ дополнилъ то, чего недоставало въ древнемъ анализист.

П—въ.

——

[Перевощиков Д.М.] Отрывки из разсуждения о чистой мафематике: (Окончание) / П-в // Вестн. Европы. — 1818. — Ч.100, N 13. — С.23-39.

Читайте также: